ExLibris VV
К. П. Мустафиди, Б. И. Юлин

Влияние модуляции помех по соседнему каналу на порог ЧМ приемника

УДК 621.391.827:621.396.621.33

Ниже получены сравнительно простые выражения для расчета порога ЧМ приемника, состоящего из идеального ФПЧ и стандартного ЧД, при воздействии на вход ФПЧ полезного сигнала, двух модулированных по частоте помех и теплового шума.

В большинстве работ, посвященных этому вопросу, например в [1]—[3], помехи по соседнему каналу представляются в виде немодулированных несущих. Попытка учесть влияние модуляции помех на порог ЧМ приемника объясняется необходимостью более строгого расчета систем связи с многостанционным доступом на отдельных несущих, многоствольных систем спутниковой связи и решения ряда вопросов электромагнитной совместимости.

В [3] в общем виде получено уравнение для числа скачков фазы на ±2π на выходе стандартного ЧД при воздействии на его вход двух ЧМ помех, сигнала и теплового шума:

 T  
N±2π lim
T→∞ 
1
T 
   dt     dx     1y
π³ σ
exp [– (x + B)² – A² – y² – C²] ch(2Cy) dy, (1)
 0 a 0
где
А = b1 sin(δ1t + ψ1 + φ1) + b2 sin(δ2t + ψ2 + φ2);
B = b1 cos(δ1t + ψ1 + φ1) + b2 cos(δ2t + ψ2 + φ2);
C = c1b1 cos(δ1t + ψ1 + φ1) + c2b2 cos(δ2t + ψ2 + φ2);
b1 U1
2 σ
 ;
b2 U2
2 σ
 ;
a U0
2 σ
 ;
c1 σ
σ1
 (δ1 + ψ'1) ;
c2 σ
σ1
 (δ2 + ψ'2) ;

δ1 = ωn1 – ω0;   δ2 = ωn2 – ω0;   ch(2Су) = ½ [exp(–2Су) + exp(2Су)];
U0 — амплитуда полезного сигнала;
ω0, ωn1, ωn2 — центральные частоты полезного сигнала, первой и второй помех соответственно;
δ1, δ2 — расстройки относительно несущей полезного сигнала первой и второй помех;
U1, U2 — амплитуда первой и второй помех;
ψ1, ψ2 — модулирующие функции ЧМ помех;
φ1, φ2 — начальные фазы помех;
σ² — дисперсия теплового шума;
σ1² — дисперсия процесса (dUш sin φш) / dt.
 

Цель данной работы — получить пригодное для инженерных расчетов решение ур-ния (1).

Предположим, что ψ1, ψ2, ψ1', ψ2' — стационарные случайные процессы, причем ψ1' и ψ2' являются мгновенными значениями круговой частоты помех. В связи с наличием фильтра в тракте приема полезного сигнала амплитуды мгновенных значений напряжений помех на выходе ЧД будут зависеть от расстройки мгновенной частоты помехи относительно несущей сигнала.

Предположим также, что индекс модуляции помех — величина достаточно большая. Тогда амплитуда напряжения помехи на входе ЧД будет равна u1k1 для первой помехи и u2k2 — для второй, где k — коэффициент передачи тракта по частоте.

Можно принять также, что АЧХ фильтра симметрична относительно центральной частоты сигнала и что используется нормированный коэффициент передачи. В таком случае k ≤ 1 и k(x) = k(–x), а

b1 u1k1 + ψ1')
2 σ
;
b2 u2k1 + ψ2')
2 σ
.

Далее,

 
   y exp[– y² – C²] ch (2Cy)dy = ½[exp(– C²) + √πCΦ(C)] = ½[ 1 +    (–1)i+1
(2i – 1)i!
C2i ],
0 i=1
и, следовательно, выражение (1) при p = 0 принимает вид
 T  
N±2π lim
T→∞ 
1
T 
   dt     σ1
π³ σ
 [1 +    (–1)i+1
(2i – 1)i!
C2i ] exp[– (x + B)² – A²] dx
 0 a i=1
или
 T  
N±2π lim
T→∞ 
1
T 
   dt     σ1
π³ σ
 [ exp(– pC) +    (–1)i+1
(2i – 1)i!
 2i exp(– pC)
p2i
] exp[– (x + B)² – A²] dx.
 0 a i=1

Таким образом, необходимо найти значение интеграла

 T 
D = lim
T→∞ 
1
T 
   dt     exp[– (x + B)² – A² – pC] dx.
 0 a

Показатель экспоненты равен
(x + B)² + A² + pC = x² + 2Bx + B² + A² + pC = x² + (2xb1 + pc1b1) cos(δ1t + ψ1 + φ1)
+ (2xb2 + pc2b2) cos(δt + ψ2 + φ2) + b1² + b2² + 2b1b2 cos[(δ1 – δ2)t + ψ1 + φ1 – ψ2 – φ2] ,
но

 
exp(– zcos Q) = I0(z) + 2    (–1)l Il(x)cos lQ .
 l=1

Для упрощения преобразований примем также, что δ1 ≠ δ2; 1 – δ2| = Δ; Δ ≪ δ1; Δ ≪ δ2, тогда

  
D =    exp(– x² – b1² – b2²[ I0(2b1b2) I0(2b1x + pb1c1) I0(2b2x + pb2c2) + 2 (–1)l Il(2b1b2) Il(2b1x + pb1c1) Il(2b2x + pb2c2)] dx,
 a l=1

т. e. в выражение для D и, следовательно, для N±2π не входят величины ψ1, ψ2, φ1, φ2, а входят лишь их производные. С учетом этого
A = b1sin δ1t + b2sin δ2t;
B = b1cos δ1t + b2cos δ2t;
C = c1b1cos δ1t + c2b2cos δ2t.


Учитывая, что ψ1' и ψ2' являются случайными величинами, среднее число перескоков фазы

  
N = dψ1' N±2π W1'; ψ2' ) dψ2' , (2)
 –∞ –∞
где W1'; ψ2' ) — функция распределения случайных величин ψ1' и ψ2'.

В выражении (2) под интегрированием в бесконечных пределах подразумевается интегрирование по всем возможным значениям ψ1' и ψ2'.

Проведем замену переменных δ1 + ψ1' = z1; δ2 + ψ2' = z2; тогда

  
N = dz1 N±2π W (z1 – δ1; z2 – δ2) dz2 , (3)
 –∞ –∞
где
 T 
N±2π lim
T→∞ 
1
T 
   dt     dx  σ1
π³ σ
[ exp (–C²) + √π CΦ(C)] exp [– (x + B)² – A²];
 0 a
A = b1sin δ1t + b2sin δ2t;   B = b1cos δ1t + b2cos δ2t;   C = c1b1cos δ1t + c2b2cos δ2t;
c1 σ
σ1
z1 ;
c2 σ
σ1
z2 .

Здесь z1 и z2 соответствуют расстройке мгновенной частоты помех относительно несущей частоты сигнала.

Следует отметить, что выражение (3) представляет решение поставленной задачи в общем виде.

Далее положим U1 = U2 = U0 ; δ1 = δ ; δ2 = – (δ + Δ), где Δ — относительно малая величина. Тогда

a U0
2σ
 ;
b1 = ak (z1);   b2 = ak (z2);  
A = a [k(z1) sin δtk(z2) sin (δ + Δ)t];   B = a [k(z1) cos δt + k(z2) cos (δ + Δ)t];

C = a  σ
σ1
 [z1k(z1) cos δt + z2k(z2) cos (δ + Δ)t];

  
N = lim
Δ→∞ 
dz1 N±2π W (z1 – δ; z2 + δ + Δ) dz2 , (4)
 –∞ –∞

Полагаем z1 и z2 независимыми случайными величинами с нормальным законом распределения и равной дисперсией, т. е.

W (z1 – δ; z2 + δ + Δ) =  1
2πρ²
 exp [–  (z1 – δ)²
2ρ²
 –  (z2 + δ + Δ)²
2ρ²
 ] .

Пусть форма частотной характеристики ФПЧ — прямоугольная с границами ±d.

Тогда из [1] следует, что

σ1
 σ 
 =  d
3
 , (5)

и можно рассмотреть три случая: ни одно из мгновенных значений частот помех не находится в полосе пропускания ФПЧN0; хотя бы одно из мгновенных значений частот помех находится в полосе пропускания ФПЧN1; оба мгновенных значения частот помех находятся в полосе пропускания ФПЧN2. При этом N = N0 + N1 + N2.

В (4) проведем замену переменных, одновременно подставив (5),

z1
d
 = y1 ;
z2
d
 = y2 ;
N = lim
Δ→∞ 
  dy1   N±2π  d²
2πρ²
 exp [ –  d²
2ρ²
 ( y1 –  δ
d
 )2 –  d²
2ρ²
 ( y2 δ + Δ
d
 )2 ] dy2 .

Введем обозначения ρ/d = β; δ/d = α; (δ + Δ)/d = γ и произведем замену переменных δt = z. Тогда выражение (4) принимает вид

N = lim
Δ→∞ 
  dy1    N±2π  1
2πρ²
 exp [ –  (y1 – α)²
2β²
 –  (y2 + γ)²
2β²
 ] dy2 , (6)
где

 z 
N±2π d
3π³
lim
 z→∞ 
1
 z 
   dz     [exp (– C²) + √π CΦ(C)] exp[– (x + B)² – A²] dx;
 0 a
A = a [ k (y1d) sin zk (y2d) sin (1 +  Δ
δ
 ) z ];
B = a [ k (y1d) cos z + k (y2d) cos (1 +  Δ
δ
 ) z ];
C = √3 a [ y1k (y1d) cos z + y2k (y2d) cos (1 +  Δ
δ
 ) z ].

Преобразуем выражение (6) так, чтобы область возможных значений у1 и у2 была положительной.

Тогда можно записать N = F1 + F2 + F3 + F4 , где

  
F1 =   dy1    N±2π  1
2πβ²
 exp [ –  (y1 – α)² + (y2 + α)²
2β²
 ] dy2 ;
 0 a
C = √3 a [ y1k (y1d) cos z + y2k (y2d) cos (1 +  Δ
δ
 ) z ];

  
F2 =   dy1    N±2π  1
2πβ²
 exp [ –  (y1 + α)² + (y2 + α)²
2β²
 ] dy2 ;
 0 a
C = √3 a [ – y1k (y1d) cos z + y2k (y2d) cos (1 +  Δ
δ
 ) z ];

  
F3 =   dy1    N±2π  1
2πβ²
 exp [ –  (y1 – α)² + (y2 – α)²
2β²
 ] dy2 ;
 0 a
C = √3 a [ y1k (y1d) cos z – y2k (y2d) cos (1 +  Δ
δ
 ) z ];

  
F3 =   dy1    N±2π  1
2πβ²
 exp [ –  (y1 + α)² + (y2 – α)²
2β²
 ] dy2 ;
 0 a
C = – √3 a [ y1k (y1d) cos z + y2k (y2d) cos (1 +  Δ
δ
 ) z ].

Выражение [exp (– C²) + √πCΦ(C)] с достаточной степенью точности можно аппроксимировать вы­ра­же­ни­ем 1 + πC². Максимальное значение C² при всех возможных значениях z будет [y1k (dy1) + y2k (dy2)]² = C²макс. При этом, так как y1 ≥ 0 и y2 ≥ 0, то C².C²макс ≤ 1. Таким образом,

1 + πC² = 1 + π(C² – C²макс + C²макс = 1 + πC²макс – π(C²макс + C²) =
1 + πC²макс 
1 –  π(C²максC²)
  1 + πC²макс 
.

Так как   π(C²максC²)
  1 + πC²макс 
< 1, то

1 + πC² =
1 + πC²макс 
1 –  π(C²максC²)
  1 + πC²макс 
  =  1 + πC²макс 
1 –  πC²макс
  1 + πC²макс 
 (1 –  C²
C²макс
 )
  =

 
   ai ( πC²макс
1 + πC²макс
 )i (1 – C²
C²макс
 )i1 + πC²макс .
 i=0

Заменяя в (6) z на t, получаем:

 T  
N±2π lim
T→∞ 
1
T 
   dt     dx  d
3π³
1 + πC²макс exp [– (x + B)² – A² ]    ai ( πC²макс
1 + πC²макс
 )i (1 – C²
C²макс
 )i .
 0 a i=0

Опуская промежуточные преобразования, приведем уравнения для N0, N1, N2 в окончательном виде:

N0 = d
8 √3π
 [1 – Φ(a)] {[1 + Φ(α1)] + [1 – Φ(α3)]}², (7)

N1 2βd
8π √π
 (1 –  1
4a
) {[1 + Φ(α1)] + [1 – Φ(α3)]} ×  
  × {α2π [2Φ(α2) – Φ(α1) – Φ(α3)] – [exp(–α1²) + exp(–α3²) – 2 exp(–α2²)]}; (8)

N2 dβ
π² √
 F(45°;  1
2
) [Φ(α3) – Φ(α1)] {[2 exp(–α2²) – exp(–α1²) – exp(–α3²)] + √πα2[2 Φ(α2) – Φ(α1) - Φ(α3)]},

где F(45°; 1/√2) — эллиптический интеграл первого рода,
α1 α – 1
 √2β 
 ;
α2 α
2β
 ;
α3 α + 1
 √2β 
 ;
 a
Φ(a) =  2
 √π
   exp (–x²) dx .
 0

Согласно [1],

ρ²вых

3a²m³
6a²m²N(π/d) + 1

 ,
где N = N0 + N1 + N2; m — индекс модуляции ЧМ, а N(π/d) = H.

Тогда

ρ²вых

3a²m³
6a²m²H + 1

 ,
где H = H0 + H1 + H2;

H0 1
8√3
[1 – Φ(a)]{[1 + Φ(α1)] + [1 – Φ(α3)]}²;

H1 β
4√
 (1 – 1
4a
) {[1 + Φ(α1)] + [1 – Φ(α3)]}{α2π[2Φ(α2) – Φ(α1) – Φ(α3)] + [– exp(–α1²) – exp(–α3²) + 2 exp(–α2²)]};

H2 β
π√
 F(45°;  1
2
) [Φ(α3) – Φ(α1)]{√πα2[2Φ(α2) – Φ(α1) – Φ(α3)] + [– exp(–α1²) – exp(–α3²) + 2 exp(–α2²)]}.

Формула (7) дает точное значение для N0, а ф-ла (8) — приближенное для N1, при этом для a ≥ 2 ошибка меньше или равна +20% и –9%; с ростом a ошибка в вычислениях быстро убывает. Для N2 оказалось достаточным произвести оценку сверху.

Аналогичным образом из ф-лы (2) можно получить выражения и для одной ЧМ помехи (при всех ранее принятых предположениях). Тогда

ρ²вых

3a²m³
6a²m²H + 1

 ,
где H = H0 + H1;

H0 1
4√3
[1 – Φ(a)]{[1 + Φ(α1)] + [1 – Φ(α3)]};

H1 β
4√
{√πα2[2Φ(α2) – Φ(α1) – Φ(α3)] + [2 exp(–α2²) – exp(–α1²) – exp(–α3²)]}.

На рис. 1 приведены полученные расчетным путем пороговые кривые ЧМ приемника при воздействии на вход стандартного ЧД одной (кривая без штриха) или двух (со штрихом) модулированных по частоте помех. В качестве аргумента введены расстройка между несущими частотами помех и сигналами δ, индекс модуляции (в нашем случае m = 10) и эффективная девиация ρ будут α = δ/d; β = ρ/d.

На рис. 2 показана зависимость отношения сигнал/шум на выходе ЧМ приемника от расстройки помех α = δ/d и девиации β = ρ/d.

Кривые рис. 1 и 2 соответствуют значениям параметров dβ и ρвх, которые приведены в табл. 1.
 


Рис. 1

Рис. 2
Таблица 1

Рис.Кри-
вые
αβρвх
дБ
  1 →∞
  2,2'41√2
  3,3'41
1 4,4'31√2
  5,5'31
  6,6'21√2
  7,7'21
  1 0,7 12
  2 0,7 10
23 0,7 8
4 1,0 12
  5 1,0 10
  6 1,0 8

Авторы выражают признательность канд. техн. наук В. М. Дорофееву за ценные замечания и советы при решении поставленной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дорофеев В. М. Пороговые свойства приемника ЧМ. — «Радиотехника», 1972, № 6.

2. Кантор Л. Я., Мустафиди К. П. К выбору параметров систем спутниковой связи с частотной модуляцией и частотным разделением. — «Труды НИИР», 1973, № 4.

3. Мустафиди К. П., Юлин Б. И. Помехоустойчивость ЧМ приемника при действии шума и гармонических помех. — «Труды НИИР», 1974, № 2.

Статья поступила в редакцию 10 марта 1975 г.