Ниже получены сравнительно простые выражения для расчета порога ЧМ приемника, состоящего из идеального ФПЧ и стандартного ЧД, при воздействии на вход ФПЧ полезного сигнала, двух модулированных по частоте помех и теплового шума.

В большинстве работ, посвященных этому вопросу, например в [1]—[3], помехи по соседнему каналу представляются в виде немодулированных несущих. Попытка учесть влияние модуляции помех на порог ЧМ приемника объясняется необходимостью более строгого расчета систем связи с многостанционным доступом на отдельных несущих, многоствольных систем спутниковой связи и решения ряда вопросов электромагнитной совместимости.

В [3] в общем виде получено уравнение для числа скачков фазы на ±2π на выходе стандартного ЧД при воздействии на его вход двух ЧМ помех, сигнала и теплового шума:

Цель данной работы — получить пригодное для инженерных расчетов решение ур-ния (1).

Предположим, что ψ1, ψ2, ψ1', ψ2' — стационарные случайные процессы, причем ψ1' и ψ2' являются мгновенными значениями круговой частоты помех. В связи с наличием фильтра в тракте приема полезного сигнала амплитуды мгновенных значений напряжений помех на выходе ЧД будут зависеть от расстройки мгновенной частоты помехи относительно несущей сигнала.

Предположим также, что индекс модуляции помех — величина достаточно большая. Тогда амплитуда напряжения помехи на входе ЧД будет равна u1k1 для первой помехи и u2k2 — для второй, где k — коэффициент передачи тракта по частоте.

Можно принять также, что АЧХ фильтра симметрична относительно центральной частоты сигнала и что используется нормированный коэффициент передачи. В таком случае k ≤ 1 и k(x) = k(–x), а

Далее,

Таким образом, необходимо найти значение интеграла

Показатель экспоненты равен
(x + B)² + A² + pC = x² + 2Bx + B² + A² + pC = x² + (2xb1 + pc1b1) cos(δ1t + ψ1 + φ1)
+ (2xb2 + pc2b2) cos(δt + ψ2 + φ2) + b1² + b2² + 2b1b2 cos[(δ1 – δ2)t + ψ1 + φ1 – ψ2 – φ2] ,
но

Для упрощения преобразований примем также, что δ1 ≠ δ2; |δ1 – δ2| = Δ; Δ ≪ δ1; Δ ≪ δ2, тогда

Учитывая, что ψ1' и ψ2' являются случайными величинами, среднее число перескоков фазы

В выражении (2) под интегрированием в бесконечных пределах подразумевается интегрирование по всем возможным значениям ψ1' и ψ2'.

Проведем замену переменных δ1 + ψ1' = z1; δ2 + ψ2' = z2; тогда

Здесь z1 и z2 соответствуют расстройке мгновенной частоты помех относительно несущей частоты сигнала.

Следует отметить, что выражение (3) представляет решение поставленной задачи в общем виде.

Далее положим U1 = U2 = U0 ; δ1 = δ ; δ2 = – (δ + Δ), где Δ — относительно малая величина. Тогда

Полагаем z1 и z2 независимыми случайными величинами с нормальным законом распределения и равной дисперсией, т. е.

Пусть форма частотной характеристики ФПЧ — прямоугольная с границами ±d.

Тогда из [1] следует, что

и можно рассмотреть три случая: ни одно из мгновенных значений частот помех не находится в полосе пропускания ФПЧ — N0; хотя бы одно из мгновенных значений частот помех находится в полосе пропускания ФПЧ — N1; оба мгновенных значения частот помех находятся в полосе пропускания ФПЧ — N2. При этом N = N0 + N1 + N2.

В (4) проведем замену переменных, одновременно подставив (5),

Введем обозначения ρ/d = β; δ/d = α; (δ + Δ)/d = γ и произведем замену переменных δt = z. Тогда выражение (4) принимает вид

Преобразуем выражение (6) так, чтобы область возможных значений у1 и у2 была положительной.

Тогда можно записать N = F1 + F2 + F3 + F4, где

Выражение [exp (– C²) + √πCΦ(C)] с достаточной степенью точности можно аппроксимировать вы­ра­же­ни­ем √1 + πC². Максимальное значение C² при всех возможных значениях z будет [y1k (dy1) + y2k (dy2)]² = C²_макс. При этом, так как y1 ≥ 0 и y2 ≥ 0, то C².C²_макс ≤ 1. Таким образом,

Заменяя в (6) z на t, получаем:

Опуская промежуточные преобразования, приведем уравнения для N0, N1, N2 в окончательном виде:

Согласно [1],

ρ²вых =

3a²m³ 6a²m²N(π/d) + 1

,

где N = N₀ + N₁ + N₂; m — индекс модуляции ЧМ, а N(π/d) = H.

Тогда

ρ²вых =

3a²m³ 6a²m²H + 1

,

где H = H₀ + H₁ + H₂;

Формула (7) дает точное значение для N0, а ф-ла (8) — приближенное для N1, при этом для a ≥ 2 ошибка меньше или равна +20% и –9%; с ростом a ошибка в вычислениях быстро убывает. Для N2 оказалось достаточным произвести оценку сверху.

Аналогичным образом из ф-лы (2) можно получить выражения и для одной ЧМ помехи (при всех ранее принятых предположениях). Тогда

На рис. 1 приведены полученные расчетным путем пороговые кривые ЧМ приемника при воздействии на вход стандартного ЧД одной (кривая без штриха) или двух (со штрихом) модулированных по частоте помех. В качестве аргумента введены расстройка между несущими частотами помех и сигналами δ, индекс модуляции (в нашем случае m = 10) и эффективная девиация ρ будут α = δ/d; β = ρ/d.

На рис. 2 показана зависимость отношения сигнал/шум на выходе ЧМ приемника от расстройки помех α = δ/d и девиации β = ρ/d.

Кривые рис. 1 и 2 соответствуют значениям параметров dβ и ρ_вх, которые приведены в табл. 1.
 

Рис. 1

Рис. 2

Таблица 1 Рис. Кри- вые α β ρвх дБ   1 →∞ — —   2,2' 4 1√2 —   3,3' 4 1 — 1 4,4' 3 1√2 —   5,5' 3 1 —   6,6' 2 1√2 —   7,7' 2 1 —   1 — 0,7 12   2 — 0,7 10 2 3 — 0,7 8 4 — 1,0 12   5 — 1,0 10   6 — 1,0 8

Авторы выражают признательность канд. техн. наук В. М. Дорофееву за ценные замечания и советы при решении поставленной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дорофеев В. М. Пороговые свойства приемника ЧМ. — «Радиотехника», 1972, № 6.

2. Кантор Л. Я., Мустафиди К. П. К выбору параметров систем спутниковой связи с частотной модуляцией и частотным разделением. — «Труды НИИР», 1973, № 4.

3. Мустафиди К. П., Юлин Б. И. Помехоустойчивость ЧМ приемника при действии шума и гармонических помех. — «Труды НИИР», 1974, № 2.